以上の条件を踏まえた上で、切り替えは成功するでしょうか？成功のコツを教えて下さい、との事です。

実際に、通常ゴールドからプラチナになった方の例を申し上げますと、当時のその方の属性は質問者様よりも低かったそうですが、通常ゴールドになって１年でプラチナになったそうです。このような例もあるので、一概に絶対に成功するとは申し上げにくいです…。一度、クレジットカード会社のデスクに電話で申し込みをされてみてはいかがでしょうか。

しかし1年ほど前のパソコンで、デスクトップだとグラフィックカードの交換もまだ期待できる方です。5年以上前のパソコンでは、グラフィックカードの交換も難しいモデルもあります。交換できたとしてもCPUのスペックが低い、電源が足りないなどのトラブルが考えられます。

イーマシーンズのEL1850-H22C/Tについて、そのままの状態ではグラフィックのサブスコアが2.0と、3Dのオンラインゲームをするにはスコアが低く、動作が不安定になる可能性が高いと言えます。
このパソコンを、VRAMが1GBほどを要求する3Dオンラインゲームで問題なくプレイできるよう検証しましょう。
例えばドラゴンネスト、ファンタジーアース　ゼロ、シュヴァリエサーガタクティクスなどです。

グラフィックカードを増設する場合、GeForce GT 520を搭載したWFGT520-1GD3かGF-GT520-LE1GHがいいでしょう、どちらも性能は同じですが、GF-GT520-LE1GHの方が若干価格が低く設定されているようです。
他にはGIGABYTE GV-N520OC-1GI、MSI N520GT-MD1GD3 LPがありますが、音が気になる場合は消音性に優れたASUS ENGT520 SILENT/DI/1GD3(LP)をおすすめしたいと思います。

このパソコンの場合、スリムケースのため大きなグラフィックカードはケースに入りきれません。そのため、上記の小型のグラフィックカードを挙げてみました。
また、これ以上のスペックの場合は電源が不足してしまい、電源交換が必要になってきます。
しかし費用がかさむなどの問題から、これ以上のスペックを求めるのならばもっとハイスペックのパソコンを買ったほうが将来性を考えた面でもいいと思います。

快適にプレイするためのメモリ増設も考えたいところです。基本的に高いメモリが高品質とはあまり言えません。海外メーカーでも保障がしっかりしたところであれば、安くても十分機能します。ただし、メモリは他の周辺機器との相性があり、合わないとブルースクリーンなどの動作不良や故障を引き起こします。また、故障が見つけにくい場所でもありますので、購入の際は気をつけたほうがいいと思います。

パーツに詳しい店舗では、相性保障としてもし不具合が出た場合交換してもらえるところがあります。「相性保障」で検索してみるといいでしょう。差額を出せば別のメモリに交換してもらえます。
DY1333-2G、EV1333-2G×2、D3U1333-2G×2と挙げてみますが、どれでもかまいません。ただ、このパソコンでは4GBまでしか搭載できないのでその点は注意してください。

グラフィックカードの増設ですが、必要な工具はプラスドライバーだけです。パソコン本体を開いて、マザーボードのスロットにグラフィックカードを差し込むだけなので、メモリの増設の経験があればまず問題なく作業できるでしょう。

以上、現在のパソコンをアップグレードする方向で考えてみましたが、前述の通りこれでも動作に納得いかない場合は買い換えを検討する方がいいでしょう。その際、先を見越して予算に余裕のある限りグラフィックボードはハイスペックなものを選んだ方がいいかもしれません。

もちろん最終的にかかる引越し見積り費用は業者によって変わりますが、基本的にトラック１台でピストン輸送してもらうよりも、複数のトラックでいっぺんに運んでもらった方が得な場合が多いです。複数のトラックで来る場合その分リーダークラスの人間が多く来るので作業のスピードや正確性が増します。

ピストン輸送だと往復に時間がかかり作業員の拘束時間が増える分費用は大きくなりがちです。
だいたい８トンくらいの荷物量ならピストン輸送の方で１５万円、複数でいっぺんに運ぶなら１４万円くらいが相場になります。なので、複数の業者に見積もり依頼をする場合には、トラックの台数に気を配ることである程度引越し費用を安く抑えることができるかもしれません。